【人狼ジャッジメント】9人デフォルト村で初日狩人回避をした時の狼吊りの確率

はじめに

人狼ジャッジメントができて1年経とうとしているが、デフォルトの9人村で未だに狩りCO周り(特に初日の狩人回避貫通について)の進行が完成されていないなとい印象を受ける。できるだけ最適な進行をやりたいマンの私としてはそろそろこの問題を真面目に考えて解決するべきではと思い始めた。
そこで、まずは初日狩人COしたときの狼吊りの確率はどのくらいだろうとググッてみた。が、以外な事に確率を求めて議論しているブログが1つもないではないか。
そこでそもそもの前提として、狩人回避進行を初日行うことで、どのくらいの確率で初日に狼を吊ることができるのかを各グレー数に応じて求めた。

はじめに
ルール
- レギュレーション
- 議論する上での仮定(重要)
各グレー数において、狩人回避進行を行った場合の狼の初日吊り確率
まとめ
議論

ルール

レギュレーション

配役:占1、霊1、狩1、村3、狂1、狼2
初日占い:初日ランダム白
役職欠け:なし
狩人の連続護衛:あり

議論する上での仮定(重要)

初日に占い師COと霊能社者COを行う。占い師候補は2人現れるとする。
偽占い師は狂人のみとする。
真狩人が狩COしても狼が対抗狩COを行わないとする。

各グレー数において、狩人回避進行を行った場合の狼の初日吊り確率

まずは、グレー数が4、5、6人の全ての場合において狩人回避進行をとった場合、貫通進行に比べて、どの程度狼を初日に吊ることができるかの確率を求めた。

グレー4人の場合

初日の盤面
占いCO
①ｰ>④白
②ｰ>⑤白
霊能CO
③
グレー
⑥⑦⑧⑨

真占いはランダム白なので、霊狂狩村村村の6通り。
狂人は狼にも白を出せるので霊狂狩村村村狼狼の8通り。

各占い先の実現確率
村村→ $3/6 \times 3/8 - 3/6 \times 1/8= 6/48$
村狩→ ${3/6 \times 1/8 + 1/6 \times 3/8= 6/48}$
村狼→ ${3/6 \times 2/8 = 6/48}$
狩狼→ ${1/6 \times 2/8 = 2/48}$
よってグレー4人になる確率は
${6/48 + 6/48 + 6/48 + 2/48 = 5/12}$

狩人回避にした場合の狼吊りの確率

各占い先に対する狼指定確率
村村→ ${2/3}$
村狩→ ${2/4}$
村狼→ ${1/3}$
狩狼→ ${1/4}$
以上より、グレー4人の時の狩人回避による狼吊りの確率は
${(6/48 \times 2/3 + 6/48 \times 2/4 + 6/48 \times 1/3 + 2/48 \times 1/4) \div 5/12= \bf{47.5\%}}$

狩人貫通にした場合の狼吊りの確率

占い先に対する狼指定確率
村村→ ${2/4 = 50\%}$
村狩→ ${2/4 = 50\%}$
狩村→ ${2/4 = 50\%}$
村狼→ ${1/4 = 25\%}$
狩狼→ ${1/4 = 25\%}$
より
${(6/48 \times 2/4 + 6/48 \times 2/4 + 6/48 \times 1/4 + 2/48 \times 1/4) \div 5/12= \bf{40\%}}$

グレー5人(確定白ができた)の場合

初日の盤面
占いCO
①ｰ>④白
②ｰ>④白
霊能CO
③
グレー
⑤⑥⑦⑧⑨

そもそも良く誤解されているが、初日確定白ができたパターンのグレー5と、そうでない場合(片白しかできない場合)のグレー5は本質的に全然違う。前者は100%グレーに狼が2匹いる一方、後者は片白が狼である場合もある。つまり、前者と後者とでは初日狼吊りの確率が変わるからだ。
そのため「グレー5」ではなく、「確定白のグレー5」と「片白のグレー5」のように呼び分けをするべきだ。そしてグレー4で回避派のみなさんは確定白のグレー5の時も必ず回避進行を取らなければならないことをここで示そう。

各占い先の実現確率
村→ $3/6 \times 1/8 = 3/48$
狩→ $1/6 \times 1/8 = 1/48$
よって確定白のグレー4人になる確率は
${6/48 + 6/48 + 6/48 + 2/48 = 5/12}$

狩人回避にした場合の狼吊りの確率

各占い先に対する狼指定確率
村→ $2/4$
狩→ $2/5$

以上より、確定白のグレー5人の時の狩人回避による狼吊りの確率は
${(3/48 \times 2/4 + 1/48 \times 2/5) \div 5/12= \bf{47.5\%}}$

狩人貫通にした場合の狼吊りの確率

各占い先に対する狼指定確率
村→ $2/5$
狩→ $2/5 = 40 \%$

より
${(3/48 \times 2/5 + 1/48 \times 2/5) \div 5/12= \bf{40\%}}$

おどろくべきことに、確定白のグレー5の時の初日狼吊りの確率は、グレー4の時と狩人回避進行、貫通進行ともに全く同じなのだ。
このことから、グレー5という呼び方はやめて、「確定白のグレー5」と「片白のグレー5」と呼び分けるべきだと思い始めただろう。そして、グレー4では回避進行派のみなさんは確定白のグレー5でも回避をしなければならないこともお分かりいただけただろう。

グレー5人(狂、霊占い)の場合

初日の盤面
占いCO
①ｰ>③白または、 ①ｰ>②白
②ｰ>④白
霊能CO
③
グレー
⑤⑥⑦⑧⑨

各占い先の実現確率
狂村、霊村→ $2/6 \times 3/8 + 3/6 \times 2/8= 12/48$
狂狩、霊狩→ ${2/6 \times 1/8 + 1/6 \times 2/8= 4/48}$
狂狼、霊狼→ ${2/6 \times 2/8 = 4/48}$
※かんたんのため、狂人が対抗占い師に白出しをした場合も「狂」を占ったとここでは表記している。

よって片白のグレー5人になる確率は
${12/48 + 4/48 + 4/48 = 5/12}$

狩人回避にした場合の狼吊りの確率

各占い先に対する狼指定確率

狂村、霊村→ $2/4$
狂狩、霊狩→ ${2/5}$
狂狼、霊狼→ ${1/4}$

以上より、グレー5人の時の狩人回避による狼吊りの確率は
${(12/48 \times 2/4 + 4/48 \times 2/5 + 4/48 \times 1/4) \div 5/12= \bf{43\%}}$

狩人貫通にした場合の狼吊りの確率

各占い先に対する狼指定確率
狂村、霊村→ $2/5$
狂狩、霊狩→ ${2/5}$
狂狼、霊狼→ ${1/5}$

より
${(12/48 \times 2/5 + 4/48 \times 2/5 + 4/48 \times 1/5) \div 5/12= \bf{36\%}}$

グレー6人の場合

初日の盤面
占いCO
①ｰ>③白
②ｰ>③白
霊能CO
③
グレー
④⑤⑥⑦⑧⑨

各占い先の実現確率
狂霊→ $2/6 \times 3/8 + 3/6 \times 2/8= 12/48$

狩人回避にした場合の狼吊りの確率

${2/5 = \bf{40\%}}$

狩人回避にした場合の狼吊りの確率

${2/6 = \bf{33.3\%}}$

まとめ

狼の初日吊り確率

グレー数\進行	回避	貫通
グレー4	47.5%	40%
グレー5(確白)	47.5%	40%
グレー5(片白)	43%	36%
グレー6	40%	33.3%

議論

どのグレー数においてもだいたい7ポイントほど回避進行を行えば狼吊りの確率が増加するという結果になった。実際に確率を求めることでわかった大きなことは、初日狼吊りという観点からはグレー4の場合と確定白のグレー5の場合は同じ狼吊りの確率となることだった。
注意してほしいのは、本記事では初日の狼吊り確率を求めただけであって、結局「回避と貫通どちらの進行にするべきか？」という問題の答えにはなっていない。つまり、LWまで吊り切る確率にまで踏み込めていない。

そこで次の記事(あれば)では、回避進行、あるいは貫通進行をとることで2日目以降の狼吊りにどのように影響するのかについて、考察していこうと思う。